已知函數(shù)f（x）=log2（ax2+2x-3a），
（1）當a=-1時，求該函數(shù)的定義域和值域；
（2）當a≤0時，如果f（x）≥1在x∈[2，3]上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

解：（1）當a=-1時，f（x）=log2（ax2+2x-3a）．
令-x2+2x+3＞0，解得-1＜＜x＜3
所以函數(shù)f（x）的定義域為（-1，3）．
令t=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，則0＜t≤4
所以f（x）=log2t≤log24=2
因此函數(shù)f（x）的值域為（-∞，2]
（2）f（x）≥1在區(qū)間[2，3]上恒成立等價于ax2+2x-3a-2≥0在區(qū)間[2，3]上恒成立
由ax2+2x-3a-2≥0且x∈[2，3]時，x2-3＞0，得
a≥
令h（x）=，則h′（x）=＞0
所以h（x）在區(qū)間[2，3]上是增函數(shù)，所以h（x）max=h（3）=-
因此a的取值范圍是[-，+∞）．
分析：（1）當a=-1時，f（x）=log2（ax2+2x-3a），令-x2+2x+3＞0，解得-1＜＜x＜3，可得函數(shù)f（x）的定義域，確定真數(shù)的范圍，可得函數(shù)f（x）的值域；
（2）f（x）≥1在區(qū)間[2，3]上恒成立等價于ax2+2x-3a-2≥0在區(qū)間[2，3]上恒成立，分離參數(shù)，構造函數(shù)，確定函數(shù)的最值，即可得到a的取值范圍．
點評：本題考查函數(shù)的定義域與值域，考查恒成立問題，解題的關鍵是分離參數(shù)，確定函數(shù)的最值，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當a=1時，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當x0=
x1+x2
2
時，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當x≥e時，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2012的值為（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）若直線l過點（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當x＞0時，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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