Question

4．函數(shù)f（x）=k•a^-x（k，a為常數(shù)，a＞0且a≠1）的圖象過點A（0，1），B（3，8）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）+b}{f（x）-1}$是奇函數(shù)，求b的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下判斷函數(shù)g（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用待定系數(shù)法求解析式即可；
（Ⅱ）利用奇函數(shù)的定義得到關(guān)于b的等式解之即可；
（Ⅲ）利用單調(diào)性的定義進行判斷證明．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=k•a^-x（k，a為常數(shù)，a＞0且a≠1）的圖象過點A（0，1），B（3，8），
∴$\left\{\begin{array}{l}k=1\\ k{a^{-3}}=8\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=1\\ a=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，------------------（2分）
∴$f（x）={（{\frac{1}{2}}）^{-x}}={2^x}$，-------------（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$g（x）=\frac{{{2^x}+b}}{{{2^x}-1}}$，∵函數(shù)$g（x）=\frac{{{2^x}+b}}{{{2^x}-1}}$為奇函數(shù)，
∴g（-x）=-g（x）即$\frac{{{2^{-x}}+b}}{{{2^{-x}}-1}}=-\frac{{{2^x}+b}}{{{2^x}-1}}$，---------（5分）
∴$\frac{{b{2^x}+1}}{{1-{2^x}}}=\frac{{{2^x}+b}}{{1-{2^x}}}$-------------（6分）
∴b=1．-----------------------（7分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知$g（x）=\frac{{{2^x}+1}}{{{2^x}-1}}=1+\frac{2}{{{2^x}-1}}$，∴g（x）在（0，+∞）為減函數(shù)，---（8分）
證明：任取x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，則$g（{x_1}）-g（{x_2}）=1+\frac{2}{{{2^{x_1}}-1}}-（{1+\frac{2}{{{2^{x_2}}}}}）$=$\frac{2}{{{2^{x_1}}-1}}-\frac{2}{{{2^{x_2}}-1}}=\frac{{2（{{2^{x_2}}-{2^{x_1}}}）}}{{（{{2^{x_1}}-1}）（{{2^{x_2}}-1}）}}$，-----------------------（9分）
∵0＜x₁＜x₂，∴${2^{x_1}}＜{2^{x_2}}，{2^{x_1}}＞1，{2^{x_2}}＞1$，-----------（10分）
∴${2^{x_2}}-{2^{x_1}}＞0，{2^{x_1}}-1＞0，{2^{x_2}}-1＞0$，即g（x₁）-g（x₂）＞0，∴g（x₁）＞g（x₂）---（11分）
∴g（x）在（0，+∞）為減函數(shù)-------------------------------（12分）

點評 本題考查了待定系數(shù)法求解析式以及利用定義判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性；屬于中檔題．