Question

【題目】如圖所示，Rt△AOB的直角邊OA在x軸上，OA=2，AB=1，將Rt△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，拋物線經(jīng)過B、D兩點(diǎn)．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）連接BD，點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，直線OP把△BOD的周長(zhǎng)分成相等的兩部分，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或．

【解析】

（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得CD=AB=1，OA=OC=2，從而得到點(diǎn)B,D的坐標(biāo)，代入解析式即可得出答案；

（2）由直線OP把的周長(zhǎng)分成相等的兩部分，且OB=OD，知DQ=BQ，即點(diǎn)Q為BD的中點(diǎn)，從而得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)，求得直線OP解析式，代入拋物線解析式可得點(diǎn)P的坐標(biāo).

（1）∵Rt△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△COD，

∴CD=AB=1，OA=OC=2，則點(diǎn)B（2，1），D（﹣1，2），代入解析式，

得，解得，

∴二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2+x+.

（2）如圖：

∵OA=2，AB=1，∴B（2，1）.

∵直線OP把△BOD的周長(zhǎng)分成相等的兩部分，且OB=OD，

∴DQ=BQ，即點(diǎn)Q為BD的中點(diǎn)，D（﹣1，2），

∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（，）.

設(shè)直線OP解析式為y=kx，

將點(diǎn)Q坐標(biāo)代入，得k=，解得k=3，

∴直線OP的解析式為y=3x，

代入y=﹣x2+x+，得﹣x2+x+=3x，

解得x=1或x=﹣4.

當(dāng)x=1時(shí)，y=3；當(dāng)x=﹣4時(shí)，y=﹣12.

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，3）或（﹣4，﹣12）．