Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=

b-2x

2x+a

是奇函數(shù)
（1）求a，b的值；
（2）判斷f（x）在R上的單調(diào)性并用定義證明．

Answer 1

分析：（1）由奇函數(shù)性質(zhì)得f（0）=0，由此可求得b值；代入后由f（-x）=-f（x）恒成立可求得a值；
（2）任取x₁，x₂且x₁＜x₂，通過作差可判斷f（x₁）與f（x₂）大小關(guān)系，從而可知其單調(diào)性；

解答：解：（1）∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=

b-1

a+1

=0，解得b=1；
則f（x）=

1-2x

a+2x

，
因?yàn)閒（-x）=

1-2-x

a+2-x

=

2x-1

a•2x+1

=-f（x）=

2x-1

a+2x

，
所以a•2^x+1=a+2^x，即a（2^x-1）=2^x-1對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，
所以a=1，故a=b=1．
（2）f（x）=

1-2x

1+2x

=

2

1+2x

-1，f（x）在R上是減函數(shù)，
證明：任取x₁，x₂且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

2

1+2x1

-

2

1+2x2

=

2(2x2-2x1)

(1+2x1)(1+2x2)

，
因?yàn)閤₁＜x₂，所以2x2-2x1＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）在R上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)及函數(shù)單調(diào)性的證明，屬基礎(chǔ)題，定義是解決該類問題的基本方法．