Question

已知函數(shù)f(x)=sin

x

2

cos

x

2

+

3

cos2

x

2

．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，求f（x）的零點(diǎn)；
（3）在給出的坐標(biāo)系中作出f（x）在一個(gè)周期上的簡(jiǎn)圖．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式為=sin(x+

π

3

)+

3

2

，由此求得周期．
（2）令f(x)=0，即sin(x+

π

3

)+

3

2

=0，也就是sin(x+

π

3

)=-

3

2

，結(jié)合x∈[0，π]，求得x的值，即為f（x）的零點(diǎn)．
（3）用五點(diǎn)法作出函數(shù)在一個(gè)周期上的簡(jiǎn)圖．

解答：解：（1）f(x)=sin

x

2

cos

x

2

+

3

cos2

x

2

=

1

2

sinx+

3

2

(1+cosx)=sin(x+

π

3

)+

3

2

，
所以周期T=2π．---（4分）
（2）令f(x)=0，即sin(x+

π

3

)+

3

2

=0，也就是sin(x+

π

3

)=-

3

2

，
因?yàn)閤∈[0，π]，所以x=π．所以f（x）的零點(diǎn)是x=π．---（3分）
（3）列表：

x+ π 3	0	π 2	π	3π 2	2π
x	- π 3	π 6	2π 3	7π 6	5π 3
f（x）	3 2	1+ 3 2	3 2	-1+ 3 2	3 2

圖象如右．---（3分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二倍角公式的應(yīng)用，求函數(shù)的零點(diǎn)以及用五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象，屬于中檔題．