Question

（2012•江蘇三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，圓C：（x+1）²+y²=16，點(diǎn)F（1，0），E是圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，EF的垂直平分線PQ與CE交于點(diǎn)B，與EF交于點(diǎn)D．
（1）求點(diǎn)B的軌跡方程；
（2）當(dāng)D位于y軸的正半軸上時(shí)，求直線PQ的方程；
（3）若G是圓上的另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足FG⊥FE．記線段EG的中點(diǎn)為M，試判斷線段OM的長(zhǎng)度是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知|BF|=|BE|，可得|BC|+|BF|=|BC|+|BE|=|CE|=4，利用橢圓的定義，可求點(diǎn)B的軌跡方程；
（2）當(dāng)點(diǎn)D位于y軸的正半軸上時(shí)，可求E，D的坐標(biāo)，利用PQ是線段EF的垂直平分線，可得直線PQ的方程；
（3）設(shè)點(diǎn)E，G的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）和（x₂，y₂），則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(

x1+x2

2

，  

y1+y2

2

)，利用點(diǎn)E，G均在圓C上，且FG⊥FE，從而可求M點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為定值．

解答：解：（1）由已知|BF|=|BE|，所以|BC|+|BF|=|BC|+|BE|=|CE|=4，
所以點(diǎn)B的軌跡是以C，F(xiàn)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸為4的橢圓，所以B點(diǎn)的軌跡方程為

x2

4

+

y2

3

=1；   …（4分）
（2）當(dāng)點(diǎn)D位于y軸的正半軸上時(shí)，因?yàn)镈是線段EF的中點(diǎn)，O為線段CF的中點(diǎn)，所以CE∥OD，且CE=2OD，
所以E，D的坐標(biāo)分別為（-1，4）和（0，2），…（7分）
因?yàn)镻Q是線段EF的垂直平分線，所以直線PQ的方程為y=

1

2

x+2，
即直線PQ的方程為x-2y+4=0．         …（10分）
（3）設(shè)點(diǎn)E，G的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）和（x₂，y₂），則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(

x1+x2

2

，  

y1+y2

2

)，
因?yàn)辄c(diǎn)E，G均在圓C上，且FG⊥FE，
所以(x1+1)2+y12=16，(x2+1)2+y22=16，（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=0，…（13分）
所以x12+y12=15-2x1，x22+y22=15-2x2，x₁x₂+y₁y₂=x₁+x₂-1．
所以MO2=

1

4

[(x1+x2)2+(y1+y2)2]=

1

4

[(x12+y12)+(x22+y22)+2(x1x2+y1y2)]=

1

4

[15-2x1+15-2x2+2(x1+x2-1)]=7，
即M點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為定值，且定值為

7

．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線的方程，考查兩點(diǎn)間的距離，確定橢圓的方程，表示出兩點(diǎn)間的距離是關(guān)鍵．