在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=
2an
2+an
（n∈N+），
（1）求a1，a2，a3并猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）證明上述猜想．
（1）
a1=1．
a2=
2a1
2+a1
=
2
2+1
=
2
3
．
a3=
2a2
2+a2
=
2×
2
3
2+
2
3
=
1
2

（2）猜想an=
2
n+1
．
證明：當(dāng)n=1時(shí)顯然成立．
假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)成立，即ak=
2
k+1

則當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1=
2ak
2+ak
=
2×
2
k+1
2+
2
k+1
=
4
2k+4
=
2
(k+1)+1

所以an=
2
n+1
．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，
a
 
1
=1，an=
1
2
an-1+1（n≥2），則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=
2-21-n
2-21-n
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，a 1=
1
3
，并且對(duì)任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=
1
an
（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{
an
n
}的前n項(xiàng)和為Tn，證明：
1
3
≤Tn＜
3
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，a=
12
，前n項(xiàng)和Sn=n2an，求an+1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中,a1=a,前n項(xiàng)和Sn構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,________________.

(先在橫線上填上一個(gè)結(jié)論,然后再解答)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年廣東省汕尾市陸豐市碣石中學(xué)高三（上）第四次月考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

在數(shù)列{an}中，a，并且對(duì)任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Tn，證明：．

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