Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，PA⊥底面ABCD，點(diǎn)M是棱PC的中點(diǎn)，AM⊥平面PBD．
（1）求PA的長(zhǎng)；
（2）求棱PC與平面AMD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，由平面PBD，==0，可得P的豎坐標(biāo)，
即得到PA的長(zhǎng)．
（2）先求出平面AMD的一個(gè)法向量n，與法向量n的夾角的余弦值就等于與平面AMD夾角的正弦值．
解答：解：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，a）．
因?yàn)镸是PC中點(diǎn)，所以M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，，），
所以=（，，），=（-1，1，0），=（-1，0，a）．
（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180942905708476/SYS201310241809429057084021_DA/14.png">平面PBD，所以==0．即
-+=0，所以a=1，即PA=1．（4分）
（2）由=（0，1，0），=（，，），
可求得平面AMD的一個(gè)法向量n=（-1，0，1）．
又=（-1，-1，1）．所以cos＜n，＞===，故sin＜n，＞=，
所以，PC與平面AMD所成角的正弦值為．（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查線面成的角、面面垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義以及兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的
運(yùn)算，注意向量CP和平面法向量的夾角的余弦值就等于PC與平面所成角的正弦值，這是解題的易錯(cuò)點(diǎn)．