Question

已知(

x

+

1

3x2

)n(n∈N*)的展開式中，第5項(xiàng)的二次式系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)之比是3：2．
（1）求n的值；
（2）若展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為S，各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為T，求

S

T

的值．

Answer 1

分析：（1）由展開式的通項(xiàng)可得二項(xiàng)展開式的第3項(xiàng)的系數(shù)為

1

9

C

2 n

，第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C_n⁴，代入已知可求n
（2）利用賦值法，令x=1可得各項(xiàng)系數(shù)之和S，由二項(xiàng)式的性質(zhì)可得二項(xiàng)式系數(shù)之和T=2ⁿ，結(jié)合（1）所求的n，代入可求

S

T

解答：解：（1）由題意可得二項(xiàng)展開式的第3項(xiàng)為：T3=

C

2 n

x

n-2(

1

3x2

)2
∴第3項(xiàng)的系數(shù)為

1

9

C

2 n

∵

C 4 n

C 2 n 9

=

3

2

  解可得，n=4
（2）利用賦值法，令x=1可得各項(xiàng)系數(shù)之和S=(

4

3

)4=

256

81

由二項(xiàng)式的性質(zhì)可得二項(xiàng)式系數(shù)之和T=2⁴=16
∴

S

T

=

256

81×16

=

16

81

點(diǎn)評：本題主要考查了二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，展開式的系數(shù)之和及二項(xiàng)式系數(shù)之和的應(yīng)用，解題時(shí)要注意區(qū)別二項(xiàng)式系數(shù)之和（2ⁿ），與各項(xiàng)系數(shù)之和（一般利用賦值法求解）的不同，不要混淆，另外在通項(xiàng)中要注意r=4時(shí)是第5項(xiàng)．