Question

19．設(shè)橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{2}{3}\sqrt{2}$，且內(nèi)切于圓x²+y²=9．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)Q（1，0）作直線l（不與x軸垂直）與該橢圓交于M、N兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)R，若$\overrightarrow{RM}$=λ$\overrightarrow{MQ}$，$\overrightarrow{RN}$=$μ\overrightarrow{NQ}$，試判斷λ+μ是否為定值，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用圓x²+y²=9的直徑為6，可得a=3，結(jié)合離心率公式，參數(shù)a、b、c的關(guān)系即可得出；
（2）把直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系、向量相等即可得到定值．

解答 解：（1）由圓x²+y²=9的直徑為6，
依題意知2a=6，所以a=3，
又因?yàn)閑=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，所以c=2$\sqrt{2}$a，
則b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
所以橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1；
（2）λ+μ=-$\frac{9}{4}$，即λ+μ為定值．
理由如下：依題意知，直線l的斜率存在，故可設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），R（0，y₃），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{x}^{2}+9{y}^{2}=9}\end{array}\right.$消去y并整理，得（1+9k²）x²-18k²x+9k²-9=0，
即有x₁+x₂=$\frac{18{k}^{2}}{1+9{k}^{2}}$①，x₁x₂=$\frac{9{k}^{2}-9}{1+9{k}^{2}}$②，
由$\overrightarrow{RM}$=λ$\overrightarrow{MQ}$，可得（x₁，y₁）-（0，y₃）=λ[（1，0）-（x₁，y₁）]，
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=λ（1-{x}_{1}）}\\{{y}_{1}-{y}_{3}=-λ{(lán)y}_{1}}\end{array}\right.$，又x₁≠1與x₁≠1軸不垂直，所以x₁≠1，
所以λ=$\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$，同理μ=$\frac{{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$，
所以λ+μ=$\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{1-（{x}_{1}+{x}_{2}）+{x}_{1}{x}_{2}}$，
將①②代入上式可得λ+μ=-$\frac{9}{4}$，即λ+μ為定值．

點(diǎn)評 熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)、直線與橢圓的相交問題、根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式、向量相等是解題的關(guān)鍵．