Question

凸四邊形ABCD中，，，，，，則∠BAD的大小為

1. A.
   45°
2. B.
   75°
3. C.
   105°
4. D.
   135°

Answer 1

A
分析：根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)兩對向量垂直得到∠ADC與∠ABC都為90°，從而得到A，B，C，D四點共圓，根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得∠BAC=∠BDC，在直角三角形ABC中，由邊AB及BC的長，利用勾股定理求出邊AC的長，根據(jù)直角三角形中，一直角邊等于斜邊的一半可得這條邊所對的角為30°，得到∠BAC=∠BDC=30°，在三角形DCB中，由BD及BC的長，利用余弦定理求出DC的長，由兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值求出sin15°的值，然后在直角三角形ADC中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出DC比AC得比值等于sin15°的值，從而得到∠DAC為15°，由∠DAC+∠BAC即可求出∠DAB的度數(shù)．
解答：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：

由，，得到∠ADC=∠ABC=90°，
∴A，B，C，D四點共圓，∴∠BAC=∠BDC，
連接AC，在Rt△ABC中，|AB|=，|BC|=1，
根據(jù)勾股定理得：|AC|=2，
∴∠BAC=30°，
∴∠BDC=30°，
在△BDC中，|BD|=，|BC|=1，
根據(jù)余弦定理得：|BC|²=|BD|²+|DC|²-2|BD||DC|cos30°，
即1=2+|DC|²-|DC|，
解得：|DC|=（大于斜邊2，舍去）或|DC|=，
則sin∠DAC==，
∵sin15°=sin（45°-30°）=sin45°cos30°-cos45°sin30°=，
∴∠DAC=15°或∠DAC=165°（舍去），
則∠DAB=∠CAB+∠DAC=45°．
故選A
點評：此題考查了平面向量垂直的意義，直角三角形的性質(zhì)，余弦定理，以及三角函數(shù)的恒等變形，根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及余弦定理建立三角形的邊角關(guān)系，得到解決問題的目的，求值時注意角度的范圍．