已知橢圓：的離心率為，右焦點(diǎn)為(，0)．
(1)求橢圓的方程；  
(2)若過(guò)原點(diǎn)作兩條互相垂直的射線，與橢圓交于，兩點(diǎn)，求證：點(diǎn)到直線的距離為定值.

(1)（2）見解析

解析試題分析：(1)由離心率，右焦點(diǎn)坐標(biāo)易得各常量值. (2)先假設(shè)，當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，與橢圓方程聯(lián)立，可得又OA⊥OB，滿足根與系數(shù)的關(guān)系，可得4 m2＝3 k2＋3，代入點(diǎn)到直線的距離可得d＝.
試題解析：（1）由右焦點(diǎn)為(，0)，則，又，所以，
那么                                   4分
（2） 設(shè)，，若k存在，則設(shè)直線AB：y＝kx＋m.
由，得    6分
＞0，                 8分
有OA⊥OB知x1x2＋y1y2＝x1x2＋(k x1＋m) (k x2＋m)＝(1＋k2) x1x2＋k m(x1＋x2)＝0       10分
代入，得4 m2＝3 k2＋3原點(diǎn)到直線AB的距離d＝.      12分
當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，,可得，依然成立．   13分
所以點(diǎn)O到直線的距離為定值           14分
考點(diǎn)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)的相關(guān)概念，標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓的位置關(guān)系.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作圓的兩條切線，切點(diǎn)為A、B，.
（1）求拋物線E的方程；
（2）過(guò)拋物線E上的點(diǎn)N作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為P、Q，若P，Q，O（O為原點(diǎn)）三點(diǎn)共線，求點(diǎn)N的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，已知點(diǎn)為橢圓右焦點(diǎn)，圓與橢圓的一個(gè)公共點(diǎn)為，且直線與圓相切于點(diǎn).

（1）求的值及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足，其中M、N是橢圓上的點(diǎn)，為原點(diǎn)，直線OM與ON的斜率之積為，求證：為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)和,圓是以為圓心,半徑為的圓,點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線和半徑所在的直線交于點(diǎn).
（1）當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程；
（2）已知，是曲線上的兩點(diǎn)，若曲線上存在點(diǎn)，滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，橢圓 (a>b>0)的上、下頂點(diǎn)分別為A、B，已知點(diǎn)B在直線l：上，且橢圓的離心率e =．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)P是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，PQ⊥y軸，Q為垂足，M為線段PQ中點(diǎn)，直線AM交直線l于點(diǎn)C，N為線段BC的中點(diǎn)，求證：OM⊥MN．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線與軸交于點(diǎn)，與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

給定橢圓：，稱圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓的“準(zhǔn)圓”.若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為.

（1）求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；
（2）點(diǎn)是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作橢圓的切線交“準(zhǔn)圓”于點(diǎn).
（�。┊�(dāng)點(diǎn)為“準(zhǔn)圓”與軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求直線的方程并證明；
（ⅱ）求證：線段的長(zhǎng)為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知拋物線．
(1)若圓心在拋物線上的動(dòng)圓，大小隨位置而變化，但總是與直線相切，求所有的圓都經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)拋物線的焦點(diǎn)為,若過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn),若,求直線的斜率；
(3)若過(guò)正半軸上點(diǎn)的直線與該拋物線交于兩點(diǎn),為拋物線上異于的任意一點(diǎn),記連線的斜率為試求滿足成等差數(shù)列的充要條件．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的兩焦點(diǎn)在軸上, 且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)的連線構(gòu)成斜邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q，使得以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)Q?若存在求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

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