Question

已知關(guān)于x的方程x2-(k+1)x+

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k2+1=0的兩根是一個(gè)矩形兩邊的長(zhǎng)．
（1）k取何值時(shí)，方程存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根？
（2）當(dāng)矩形的對(duì)角線長(zhǎng)是

5

時(shí)，求k的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式，方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，則判別式△≥0，且兩根的和與積都是正數(shù)，得出關(guān)于k的不等式組，求出k的取值范圍．
（2）根據(jù)勾股定理得到的兩根的平方和與根與系數(shù)的關(guān)系得出關(guān)于k的方程，求出k的值并檢驗(yàn)．

解答：解：（1）設(shè)方程的兩根為x₁，x₂
則△=（k+1）²-4（

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k²+1）=2k-3，
∵方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴△≥0，即2k-3≥0，①
k+1＞0，②

1

4

k2＞0    ③
∴綜上可知k≥

3

2

∴當(dāng)k≥

3

2

，方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根．
（2）由題意得：

x1+x2=k+1 x1x2= 1 4 k2+1

，
又∵x₁²+x₂²=5，即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=5，
（k+1）²-2（

1

4

k²+1）=5，
整理得k²+4k-12=0，
解得k=2或k=-6（舍去），
∴k的值為2．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和勾股定理，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程求得k的值，本題解題的關(guān)鍵是根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用．