Question

12．在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₁的方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），曲線C₂的方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），若曲線C₁與C₂相交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求C₁的普通方程，C₂的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求點(diǎn)M（-1，2）到A、B兩點(diǎn)的距離之積．

Answer 1

分析 （I）曲線C₁的方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），利用平方關(guān)系可得普通方程．曲線C₂的方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得普通方程：x+y-1=0．再利用互化公式可得C₂的極坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）把曲線C₂的方程$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入方程橢圓方程可得：3t²+10$\sqrt{2}$t+14=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得點(diǎn)M（-1，2）到A、B兩點(diǎn)的距離之積=|MA|•|MB|=|t₁t₂|．

解答 解：（I）曲線C₁的方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），利用平方關(guān)系可得：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
曲線C₂的方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得普通方程：x+y-1=0．可得C₂的極坐標(biāo)方程：ρcosθ+ρsinθ-1=0．
（Ⅱ）把曲線C₂的方程$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．可得：3t²+10$\sqrt{2}$t+14=0，
∴t₁t₂=$\frac{14}{3}$．
∴點(diǎn)M（-1，2）到A、B兩點(diǎn)的距離之積=|MA|•|MB|=|t₁t₂|=$\frac{14}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．