Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n+1=2a_n，則使不等式a₁²+a₂²+…+a_n²＜5×2ⁿ⁺¹成立的n的最大值為

4

．

Answer 1

分析：利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出a_n，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出

a

2 1

+

a

2 2

+…+

a

2 n

，再化簡(jiǎn)即可得出答案．

解答：解：當(dāng)n=1時(shí)，a₁+1=2a₁，解得a₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，∵S_n+1=2a_n，S_n-1+1=2a_n-1，∴a_n=2（a_n-a_n-1），∴

an

an-1

=2．
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
∴an=2n-1，∴

a

2 n

=4n-1．
∴

a

2 1

+

a

2 2

+…+

a

2 n

=1+4+4²+…+4^n-1=

4n-1

4-1

=

1

3

(4n-1)．∴

1

3

(4n-1)＜5×2n+1．
∴2ⁿ（2ⁿ-30）＜1，可知使得此不等式成立的n的最大值為4．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、不等式的解法等是解題的關(guān)鍵．