Question

20．已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P（1，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）是橢圓上一點(diǎn)，且$\sqrt{2}$|PF₁|，|F₁F₂|，$\sqrt{2}$|PF₂|成等差數(shù)列．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知?jiǎng)又本�(xiàn)l過(guò)點(diǎn)F₂，且與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)x軸上是否存在定點(diǎn)Q，使得$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$=-$\frac{7}{16}$恒成立？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)及等差數(shù)列性質(zhì)得出a=$\sqrt{2}$c，把P點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程列方程組解出a，b得出橢圓方程；
（2）設(shè)Q（m，0），討論直線(xiàn)l的斜率，求出A，B坐標(biāo)，列方程解出m．

解答 解：（1）∵$\sqrt{2}$|PF₁|，|F₁F₂|，$\sqrt{2}$|PF₂|成等差數(shù)列，
∴$\sqrt{2}$|PF₁|+$\sqrt{2}$|PF₂|=2|F₁F₂|，即2$\sqrt{2}$a=4c，∴a=$\sqrt{2}c$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{2}c}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{2^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{2}}\\{b=1}\\{c=1}\end{array}\right.$．
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（2）假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)Q（m，0），使得$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}=-\frac{7}{16}$恒成立．
①當(dāng)直線(xiàn)l的斜率為0時(shí)，A（-$\sqrt{2}$，0），B（$\sqrt{2}$，0）．
∴$\overrightarrow{QA}$=（-$\sqrt{2}$-m，0），$\overrightarrow{QB}$=（$\sqrt{2}$-m，0）．
∴$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}$=m²-2=-$\frac{7}{16}$，解得$m=\frac{5}{4}$或m=-$\frac{5}{4}$．
②若直線(xiàn)l無(wú)斜率，則A（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴$\overrightarrow{QA}$=（1-m，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{QB}$=（1-m，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}$=（1-m）²-$\frac{1}{2}$=-$\frac{7}{16}$，解得m=$\frac{5}{4}$或m=$\frac{3}{4}$．
③若直線(xiàn)l斜率不為0，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為x=ty+1．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消元得：（t²+2）y²+2ty-1=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=-$\frac{2t}{{t}^{2}+2}$，y₁y₂=-$\frac{1}{{t}^{2}+2}$．
∴x₁+x₂=t（y₁+y₂）+2=$\frac{4}{{t}^{2}+2}$，
x₁x₂=（ty₁+1）（ty₂+1）=t²y₁y₂+t（y₁+y₂）+1=$\frac{-2{t}^{2}+2}{{t}^{2}+2}$．
∵$\overrightarrow{QA}$=（x₁-m，y₁），$\overrightarrow{QB}$=（x₂-m，y₂）．
∴$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}$=（x₁-m）（x₂-m）+y₁y₂=x₁x₂-m（x₁+x₂）+m²+y₁y₂
=$\frac{-2{t}^{2}+2}{{t}^{2}+2}$-$\frac{4m}{{t}^{2}+2}$+m²-$\frac{1}{{t}^{2}+2}$=$\frac{（{m}^{2}-2）{t}^{2}+2{m}^{2}-4m+1}{{t}^{2}+2}$=-$\frac{7}{16}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2+{m}^{2}=-\frac{7}{16}}\\{2{m}^{2}-4m+1=-\frac{7}{8}}\end{array}\right.$，解得m=$\frac{5}{4}$．
綜上，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{5}{4}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義及方程、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系、屬于中檔題．