Question

（2012•泰安二模）已知函數(shù)f(x)=(sin

x

2

+cos

x

2

)2-2sin2

x

2

．
（I）若f(x)=

2 3

3

，求sin2x的值；
（II）求函數(shù)F（x）=f（x）•f（-x）+f²（x）的最大值與單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）將函數(shù)f（x）展開，再用降次公式化簡整理，得f（x）=sinx+cosx．將f(x)=

2 3

3

平方，再結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系和正弦的二倍角公式，可得sin2x的值；
（II）將函數(shù)f（x）和f（-x）表達(dá)式代入，得函數(shù)F（x）=1+sin2x+cos2x，化簡得：F（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1．由此結(jié)合正弦函數(shù)最值和單調(diào)區(qū)間的結(jié)論，可得函數(shù)F（x）的最大值與單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：f(x)=(sin

x

2

+cos

x

2

)2-2sin2

x

2

=1+2sin

x

2

cos

x

2

-（1-cosx）
∴f（x）=sinx+cosx
（I）f（x）=sinx+cosx=

2 3

3

，兩邊平方得（sinx+cosx）²=

4

3

∴1+2sinxcosx=

4

3

，可得2sinxcosx=

1

3

，即sin2x=

1

3

（II）∵f（x）•f（-x）=（sinx+cosx）（-sinx+cosx）=cos²x-sin²x=cos2x，
f²（x）=（sinx+cosx）²=1+2sinxcosx=1+sin2x
∴函數(shù)F（x）=f（x）•f（-x）+f²（x）=1+sin2x+cos2x，
化簡，得數(shù)F（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1
當(dāng)2x+

π

4

=

π

2

+2kπ時，即x=

π

8

+kπ（k∈Z）時，函數(shù)F（x）的最大值為

2

+1
令-

π

2

+2kπ＜2x+

π

4

＜

π

2

+2kπ（k∈Z），得-

3π

8

+kπ＜x＜

π

8

+kπ
∴函數(shù)F（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ）．

點評：本題將已知三角函數(shù)式化簡，并求與之相關(guān)的另一個函數(shù)的最值和單調(diào)區(qū)間，著重考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系、三角函數(shù)的最值和三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用等知識，屬于中檔題．