Question

如圖，邊長為2的正方形ABCD與等邊△BCS有公共邊BC，把△BCS沿BC邊折起，使二面角S-BC-A的余弦值為

3

3

．
（1）求證：平面SAC⊥平面SBD；
（2）求直線SA與平面SBC所成的角．

Answer 1

分析：（1）先作SO⊥平面ABCD于O，取BC中點(diǎn)E，根據(jù)SB=SC得到∠SEO是二面角S-BC-A的平面角，進(jìn)而求出OE=1，從而得到O是正方形ABCD的中心以及SO⊥AC；再結(jié)合AC⊥BD即可得到AC⊥平面SBD進(jìn)而證明結(jié)論；
（2）先取SC中點(diǎn)F，連接OF，則OF∥SA，作OG⊥SE于G，連接GF；根據(jù)BC⊥平面SOE，平面SOE⊥平面SBC，得到OG⊥平面SBC，∠OFG是OF與平面SBC所成的角；最后在三角形OFG求出角OFG即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）證明：作SO⊥平面ABCD于O，取BC中點(diǎn)E，
連接OE，SE，
∵SB=SC，
∴SE⊥BC，OE⊥BC．
∠SEO是二面角S-BC-A的平面角．
SE=

3

，OE=SE×cos∠SEO=

3

×

3

3

=1．
∴O是正方形ABCD的中心．
連接AC、BD，則AC⊥BD，又SO⊥AC，SO∩BD=O，
∴AC⊥平面SBD，
∵AC?平面SAC，因此平面SAC⊥平面SBD；
（2）取SC中點(diǎn)F，連接OF，則OF∥SA，
作OG⊥SE于G，連接GF．
∵BC⊥平面SOE，平面SOE⊥平面SBC，
∴OG⊥平面SBC，∠OFG是OF與平面SBC所成的角．
SO=

2

，OG=

2

3

，OF=

1

2

SC=1，sin∠OFG=

6

3

．
因此，直線SA與平面SBC所成的角為arcsin

6

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查面面垂直的判定以及線面所成的角的求法．在證明面面垂直時(shí)，一般是先證線線垂直，得到線面垂直，進(jìn)而得到面面垂直．