Question

對(duì)于在[a，b]上有意義的兩個(gè)函數(shù)f（x）與g（x），如果對(duì)任意的x∈[a，b]，均有|f（x）-g（x）|≤1，則稱f（x）與g（x）在[a，b]上是接近的，否則稱f（x）與g（x）在[a，b]上是非接近的．現(xiàn)在有兩個(gè)函數(shù)f（x）=log_t（x-3t）與g（x）=log_t（）（t＞0且t≠1），現(xiàn)給定區(qū)間[t+2，t+3]．
（1）若t=，判斷f（x）與g（x）是否在給定區(qū)間上接近；
（2）若f（x）與g（x）在給定區(qū)間[t+2，t+3]上都有意義，求t的取值范圍；
（3）討論f（x）與g（x）在給定區(qū)間[t+2，t+3]上是否是接近的．

Answer 1

解：（1）當(dāng)時(shí)，f（x）-g（x）=log_t[（x-）（x-）]=
令h（x）=
當(dāng)時(shí)，h（x）∈[log6，-1]
即|f（x）-g（x）|≥1，
f（x）與g（x）是否在給定區(qū)間上是非接近的
（2）由題意知，t＞0且t≠1，t+2-3t＞0，t+2-t＞0
∴0＜t＜1
（3）∵|f（x）-g（x）|=|log_t（x²-4tx+3t²）|
假設(shè)f（x）與g（x）在給定區(qū)間[t+2，t+3]上是接近的，
則有|log_t（x²-4tx+3t²）|≤1∴-1≤log_t（x²-4tx+3t²）≤1
令G（x）=log_t（x²-4tx+3t²），當(dāng)∴0＜t＜1時(shí)，[t+2，t+3]在x=2t的右側(cè)，
即G（x）=log_t（x²-4tx+3t²），在[t+2，t+3]上為減函數(shù)，
∴G（x）_max=log_t（4-4t），
∴G（x）_min=log_t（9-6t）
所以由（*）式可得{0＜t＜1log_t（4-4t）≤1log_t（9-6t）≥-1，解得
0＜t≤
因此，當(dāng)0＜t≤時(shí)，f（x）與g（x）在給定區(qū)間[t+2，t+3]上是接近的；當(dāng)t＞時(shí)，
f（x）與g（x）在給定區(qū)間[t+2，t+3]上是非接近的．…
分析：（1）當(dāng)時(shí)，f（x）-g（x）=log_t[（x-）（x-）]=考查函數(shù)h（x）=
在上的值域，即可
（2）由題意知，t＞0且t≠1，t+2-3t＞0，t+2-t＞0可求
（3）利用反證法：假設(shè)f（x）與g（x）在給定區(qū)間[t+2，t+3]上是接近的，由|f（x）-g（x）|=|log_t（x²-4tx+3t²）|≤1可得-1≤log_t（x²-4tx+3t²）≤1，考查函數(shù)G（x）=log_t（x²-4tx+3t²在[t+2，t+3]上的單調(diào)性，從而可求G（x）_max=log_t（4-4t），G（x）_min=log_t（9-6t），則有0＜t＜1log_t（4-4t）≤1log_t（9-6t）≥-1，可求
點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)并能靈活應(yīng)用