Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}，滿足：a₁=3，且，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)S_n=a₁²+a₂²+…+a_n²，，求S_n+T_n，并確定最小正整數(shù)n，使S_n+T_n為整數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知，所以=，由此可知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由題設(shè)條件知S_n+T_n==，為使S_n+T_n=為整數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)為整數(shù)．由此可確定最小正整數(shù)n，使S_n+T_n為整數(shù)．
解答：解：（1）條件可化為，
因此{(lán)}為一個等比數(shù)列，其公比為2，首項(xiàng)為，
所以=1°
因a_n＞0，由1°式解出a_n=2°
（2）由1°式有S_n+T_n=
=
=
為使S_n+T_n=為整數(shù)，
當(dāng)且僅當(dāng)為整數(shù)．
當(dāng)n=1，2時，顯然S_n+T_n不為整數(shù)，
當(dāng)n³3時，4ⁿ-1=（1+3）ⁿ-1=C_n¹×3+C_n²×3²+3³（C_n³++3^n-3C_nⁿ）
∴只需=為整數(shù)，
因?yàn)?n-1與3互質(zhì)，
所以為9的整數(shù)倍．
當(dāng)n=9時，=13為整數(shù)，
故n的最小值為9．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)條件中的隱含條件，仔細(xì)求解．