Question

8．已知函數(shù)f（x）=ln x，g（x）=$\frac{1}{2}$ax+b．
（1）若曲線(xiàn)f（x）與曲線(xiàn)g（x）在它們的公共點(diǎn)P（1，f（1））處具有公共切線(xiàn)，求g（x）的表達(dá)式；
（2）若φ（x）=$\frac{m（x-1）}{x+1}$-f（x）在[1，+∞）上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于a的方程，求出a的值，計(jì)算g（1）=0，求出b的值，從而求出g（x）的解析式即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為2m-2≤x+$\frac{1}{x}$，x∈[1，+∞），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可．

解答 解：（1）由已知得f′（x）=$\frac{1}{x}$，所以f′（1）=1=$\frac{1}{2}$a，a=2．
又因?yàn)間（1）=0=$\frac{1}{2}$a+b，所以b=-1，所以g（x）=x-1．
（2）因?yàn)棣眨▁）=$\frac{m（x-1）}{x+1}$-f（x）=$\frac{m（x-1）}{x+1}$-ln x在[1，+∞）上是減函數(shù)．
所以φ′（x）$\frac{-{x}^{2}+（2m-2）（x-1）}{x（x+1）^{2}}$≤0在[1，+∞）上恒成立．
即x²-（2m-2）x+1≥0在[1，+∞）上恒成立，
則2m-2≤x+$\frac{1}{x}$，x∈[1，+∞），
因?yàn)閤+$\frac{1}{x}$∈[2，+∞），所以2m-2≤2，m≤2，
故數(shù)m的取值范圍是（-∞，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及切線(xiàn)方程問(wèn)題，考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題．