Question

如圖，設(shè)共有一條對稱軸PQ、一個頂點P和一個焦點F的2個橢圓 C₁，C₂，記2a_i、2b_i和2c_i分別表示
橢圓C_i（i=1，2）的長軸的長、短軸的長和焦距，給出下列判斷   
①a₁+c₁＞a₂+c₂ ②a₁-c₁＞a₂-c₂ ③    ④  ⑤．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，結(jié)合圖形可得a₁-c₁=a₂-c₂ ，且橢圓C₁的長軸和焦距都比橢圓C₂要小，所以①②均不正確；根據(jù)a₁-c₁=a₂-c₂ ，且0＜a₁＜a₂，結(jié)合橢圓離心率的定義和平方關(guān)系，得且，可得③④均不正確；最后根據(jù)圖形結(jié)合橢圓通徑的求法，可得⑤正確．由此即可得到本題的答案．
解答：解：對于①，根據(jù)圖形可得橢圓C₁的長軸和焦距都比橢圓C₂要小，得a₁+c₁＜a₂+c₂ ，故①不正確；
對于②，因為兩個橢圓的焦點與較近頂點的距離相等，所以a₁-c₁=a₂-c₂ ，得②不正確；
對于③，因為a₁-c₁=a₂-c₂ ，且0＜a₁＜a₂，故由不等式的性質(zhì)得，得③不正確；
對于④，由③得＜，平方化簡得，故④不正確；
對于⑤，根據(jù)圖形得橢圓C₁的通徑（過焦點垂直于長軸的直線被橢圓截得的線段）小于橢圓C₂的通徑，
所以，得成立，故⑤正確．
故答案為：⑤
點評：本題給出有公共a-c的兩個橢圓，求它們的離心率、通徑和短軸與長軸比的大小關(guān)系，著重考查了橢圓的標準方程、基本概念和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．