Question

【題目】中國女排，曾經(jīng)十度成為世界冠軍，鑄就了響徹中華的女排精神.女排精神的具體表現(xiàn)為：扎扎實實，勤學(xué)苦練，無所畏懼，頑強拼搏，同甘共苦，團結(jié)戰(zhàn)斗，刻苦鉆研，勇攀高峰.女排精神對各行各業(yè)的勞動者起到了激勵、感召和促進作用，給予全國人民巨大的鼓舞.

（1）看過中國女排的紀(jì)錄片后，某大學(xué)掀起“學(xué)習(xí)女排精神，塑造健康體魄”的年度主題活動，一段時間后，學(xué)生的身體素質(zhì)明顯提高，將該大學(xué)近5個月體重超重的人數(shù)進行統(tǒng)計，得到如下表格：

月份x	1	2	3	4	5
體重超重的人數(shù)y	640	540	420	300	200

若該大學(xué)體重超重人數(shù)y與月份變量x（月份變量x依次為1，2，3，4，5…）具有線性相關(guān)關(guān)系，請預(yù)測從第幾月份開始該大學(xué)體重超重的人數(shù)降至10人以下？

（2）在某次排球訓(xùn)練課上，球恰由A隊員控制，此后排球僅在A隊員、B隊員和C隊員三人中傳遞，已知每當(dāng)球由A隊員控制時，傳給B隊員的概率為，傳給C隊員的概率為；每當(dāng)球由B隊員控制時，傳給A隊員的概率為，傳給C隊員的概率為；每當(dāng)球由C隊員控制時，傳給A隊員的概率為，傳給B隊員的概率為.記，，為經(jīng)過n次傳球后球分別恰由A隊員、B隊員、C隊員控制的概率.

（i）若，B隊員控制球的次數(shù)為X，求；

（ii）若，，，，，證明：為等比數(shù)列，并判斷經(jīng)過200次傳球后A隊員控制球的概率與的大小.

附1：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：；.

附2：參考數(shù)據(jù)：，.

Answer 1

【答案】（1）可以預(yù)測從第7月份開始該大學(xué)體重超重的人數(shù)降至10人以下；（2）（i）（ii）證明見解析；.

【解析】

（1）利用回歸直線方程計算公式，計算出回歸直線方程，并由此進行預(yù)測.

（i）利用相互獨立事件概率計算公式，計算出分布列，進而計算出.

（ii）證明部分：法一：通過證明證得為等比數(shù)列；法二：通過證明證得為等比數(shù)列.

求得數(shù)列的通項公式，由此判斷出.

（1）由已知可得：，

，

又因為，，

所以，

所以，

所以，

當(dāng)時，，

所以，可以預(yù)測從第7月份開始該大學(xué)體重超重的人數(shù)降至10人以下.

（2）（i）由題知X的可能取值為：0，1，2；

；

；

；

的分布列為：

所以.

（ii）（法一）由，，

兩式相加得：.

因為，

所以，，

代入等式得，即

所以，

因為，，

所以，所以，

所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，

所以，

即，

因此經(jīng)過200次傳球后A隊員控制球的概率

.

（法二）由題知：，所以，

所以，

又因為，

所以，

所以，

所以，

所以，

又因為，所以，

所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，

所以，即，

因此經(jīng)過200次傳球后A隊員控制球的概率.