Question

設(shè)向量

a

=(sinα，1-cosα)，

b

=(sinβ，1+cosβ)，

c

=(0，1)，角α∈（0，π），β∈（π，2π），若

a

與

c

的夾角為θ1，

b

與

c

的夾角為θ2，且θ1-θ2=

π

3

，求tan（α-β）的值．

Answer 1

分析：利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義和兩個(gè)向量數(shù)量積公式，求出cosθ1=cos(

π

2

-

α

2

)，cosθ2=cos(π-

β

2

)，再根據(jù)
 角的范圍求得θ1=

π

2

-

α

2

，θ2=π-

β

2

，由此進(jìn)一步求得

α-β

2

=-

5π

6

，從而求出tan

α-β

2

 的值，再由二倍角
公式求出tan（α-β）的值．

解答：解：∵

a

=(sinα，1-cosα)，

b

=(sinβ，1+cosβ)，

c

=(0，1)，角α∈（0，π），β∈（π，2π），
故有 |

a

|=

sin2α+(1-cosα)2

=

2(1-cosα)

=2sin

α

2

． |

b

|=

sin2β+(1+cosβ)2

=

2(1+cosβ)

=-2cos

β

2

．
又由兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義可得

a

•

c

=1-cosα=2sin2

α

2

，

b

•

c

=1+cosβ=2cos2

β

2

．
又 |

c

|=1，∴cosθ1=

a • c

| a |•| c |

=sin

α

2

，cosθ2=

b • c

| b |•| c |

=-cos

β

2

，
即cosθ1=cos(

π

2

-

α

2

)，cosθ2=cos(π-

β

2

)，
∵θ₁、θ₂∈（0，π），

π

2

-

α

2

∈(0，

π

2

)，π-

β

2

∈(0，

π

2

)，
∴θ1=

π

2

-

α

2

，θ2=π-

β

2

．
∵θ1-θ2=

π

3

，∴(

π

2

-

α

2

)-(π-

β

2

)=

π

3

，∴

α-β

2

=-

5π

6

，
∴tan

α-β

2

=tan(-

5π

6

)=tan

π

6

=

3

3

，
∴tan(α-β)=

2tan α-β 2

1-tan2 α-β 2

=

2× 3 3

1- 1 3

=

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，兩個(gè)向量數(shù)量積公式，以及二倍角公式、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，求出

α-β

2

=-

5π

6

，是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)，屬于中檔題．