Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=(

an+1

4

)2（a_n＞0），則數(shù)列{a_n}的通項a_n=（　　）

• A、2n-1
• B、3n²-2n
• C、4n+6
• D、5n²+7n

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，利用a_n+1=S_n+1-S_n進行化簡即可得到結(jié)論．

解答： 解：因為Sn═(

an+1

4

)2，
所以a_n+1=S_n+1-S_n=(

an+1+1

4

)2-(

an+1

4

)2，
整理得2（a_n+1+a_n）=（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n），
即（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0．
因為a_n＞0，所以a_n+1+a_n＞0，所以a_n+1-a_n-2=0，
即a_n+1-a_n=2．當n=1時，有a₁=S₁=(

a1+1

4

)2，
整理得a12-2a₁+1=0，解得a₁=1．
所以數(shù)列{a_n}是一個首項a₁=1，公差d=2的等差數(shù)列，其通項a_n=1+2（n-1）=2n-1．
答案：A

點評：本題主要考查數(shù)列的通項公式的計算，根據(jù)遞推數(shù)列的關(guān)系，結(jié)合a_n+1=S_n+1-S_n是解決本題的關(guān)鍵．