Question

【題目】橢圓的中心在原點(diǎn)，其左焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，過的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，與拋物線交于、兩點(diǎn)．當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，．

（1）求橢圓的方程；

（2）求的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1） （2）最大值；最小值

【解析】

（1）由拋物線方程，得焦點(diǎn)，聯(lián)立拋物線方程與直線的方程，得出，根據(jù)對(duì)稱性以及，得出，從而得出，代入橢圓方程，根據(jù)橢圓的性質(zhì)得出橢圓的方程；

（2）討論直線與軸是否垂直，當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)出直線方程，并與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及向量的數(shù)量積公式，化簡(jiǎn)得出，再求最值，即可得出結(jié)論.

解：（1）由拋物線方程，得焦點(diǎn)．

設(shè)橢圓的方程：．

解方程組得．

由于拋物線、橢圓都關(guān)于軸對(duì)稱，

∴，，∴．

∴又，

因此，，解得，并推得．

故橢圓的方程為．

（2）由（1）知，

①若垂直于軸，則，

∴

②若與軸不垂直，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為

由得

∵，∴方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根．

設(shè)．

∴

，則

綜上，

所以當(dāng)直線垂于軸時(shí)，取得最大值

當(dāng)直線與軸重合時(shí)，取得最小值