Question

如圖,將一個四棱錐的每一個頂點(diǎn)染上一種顏色,并使同一條棱上的兩端異色,如果只有5種顏色可供使用,則不同的染色方法總數(shù)為(　　)

A．60	B．480
C．420	D．70

Answer 1

C

分兩步,先將四棱錐一側(cè)面三頂點(diǎn)染色,然后再分類考慮另外兩頂點(diǎn)的染色數(shù),用乘法原理可求解.
由題設(shè),四棱錐S-ABCD的頂點(diǎn)S,A,B所染的顏色互不相同,它們共有5×4×3=60種染色方法.
當(dāng)S,A,B染好時,不妨設(shè)所染顏色依次為1,2,3,若C染2,則D可染3或4或5,有3種染法;若C染4,則D可染3或5,有2種染法;若C染5,則D可染3或4,有2種染法,即當(dāng)S,A,B染好時,C,D還有7種染法.
故不同的染色方法有60×7=420種.
【一題多解】以S,A,B,C,D的順序分步染色.
第一步,S點(diǎn)染色,有5種方法;
第二步,A點(diǎn)染色,與S在同一條棱上,有4種方法;
第三步,B點(diǎn)染色,與S,A分別在同一條棱上有3種方法;
第四步,C點(diǎn)染色,也有3種方法,但考慮到D點(diǎn)與S,A,C相鄰,需針對A與C是否同色進(jìn)行分類,當(dāng)A與C同色時,D點(diǎn)有3種染色方法,當(dāng)A與C不同色時,因為C與S,B也不同色,所以C點(diǎn)有2種染色方法,D點(diǎn)也有2種染色方法.
由分步乘法計數(shù)原理,分類加法計數(shù)原理,得共有5×4×3×(1×3+2×2)=420種不同方法.
【方法技巧】涂色問題的兩種解題方案
一是選擇正確的涂色順序,按步逐一涂色,這時用分步乘法計數(shù)原理逐一計數(shù).
二是根據(jù)涂色時用顏色的多少,進(jìn)行分類處理,這時用分類加法計數(shù)原理進(jìn)行計數(shù).
注意點(diǎn):在分步涂色時,要盡量讓相鄰區(qū)域多的區(qū)域先涂,在分類涂色時要注意不相鄰區(qū)域的顏色可相同也可不同,這是所用顏色多少的依據(jù).