Question

在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=a，BD⊥AC于D，以BD為棱折成直二面角A-BD-C，P是AB上的一點，若二面角P-CD-B為60°，則AP=

 

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Answer 1

分析：由已知中△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=a，BD⊥AC于D，以BD為棱折成直二面角A-BD-C，P是AB上的一點，若二面角P-CD-B為60°，我們易得∴∠PAB即二面角P-CD-B的平面角，解三角形PAD，即可求出AP的長．

解答：解：∵在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=a，BD⊥AC于D，
∴△ABC為等腰直角三角形，
則翻折后CD⊥平面ABD
則CD⊥AD，CD⊥PD
∴∠PAB即二面角P-CD-B的平面角等60°，
∴在△PAD中，AD=

2

2

a，∠A=45°，∠APD=105°
由正弦定理易得AP=

3 -1

2

a
故答案為：

3 -1

2

a

點評：本題考查的知識是二面角的平面角及求法，其中根據∴PAB即二面角P-CD-B的平面角等60°，將問題轉化為解三角形問題是解答本題的關鍵．