已知P（x，y）為函數(shù)y=lnx圖象上一點，O為坐標原點，記直線OP的斜率為k=f（x）．
（Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間；     
（Ⅱ）求函數(shù)F（x）=x-f（x）的最小值．
分析：（Ⅰ）確定函數(shù)k=f（x）=
lnx
x
（x＞0），求導函數(shù)，令f′（x）＞0可得函數(shù)的單調增區(qū)間；令f′（x）＜0，可得函數(shù)的單調減區(qū)間；
（Ⅱ）F（x）=x-
lnx
x
，求導函數(shù)可得F′（x）=
x2-1+lnx
x2
，構造新函數(shù)h（x）=x2-1+lnx，確定h（x）在（0，+∞）為單調遞增函數(shù)，從而可求函數(shù)F（x）=x-f（x）的最小值．
解答：解：（Ⅰ）k=f（x）=
lnx
x
（x＞0），求導函數(shù)可得f′（x）=
1-lnx
x2

令f′（x）＞0，x＞0，可得0＜x＜e；令f′（x）＜0，可得x＞e
∴f（x）在（0，e）單調遞增，（e，+∞）單調遞減．
（Ⅱ）F（x）=x-
lnx
x
，求導函數(shù)可得F′（x）=
x2-1+lnx
x2

設h（x）=x2-1+lnx，求導函數(shù)可得h′(x)=2x+
1
x
＞0(x＞0)------------------（5分）
∴h（x）在（0，+∞）為單調遞增函數(shù)．
∵h（1）=0，∴F'（1）=0，除了1之外，F(xiàn)（x）無其他零點，
∴當x=1時，F(xiàn)（1）=1為最小值．---------------（12分）
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調性，考查函數(shù)的最值，確定函數(shù)解析式是關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=px-
px
-2lnx、
（Ⅰ）若p=3，求曲f9想）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若p＞0且函f（x）在其定義域內為增函數(shù)，求實數(shù)p的取值范圍；
（Ⅲ）若函數(shù)y=f（x）在x∈（0，3）存在極值，求實數(shù)p的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知y=Asin（ωx+?）的最大值為1，在區(qū)間[
π
6
，
2π
3
]上，函數(shù)值從1減小到-1，函數(shù)圖象（如圖）與y軸的交點P坐標是（　�。�
A、(0，
1
2
)
B、(0，
2
2
)
C、(0，
3
2
)
D、以上都不是

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給出如下命題：
命題p：已知函數(shù)y=f(x)=
1-x3
，則|f（a）|＜2（其中f（a）表示函數(shù)y=f（x）在x=a時的函數(shù)值）；
命題q：集合A={x|x2+（a+2）x+1=0，x∈R}，B={x|x＞0}，且A∩B=∅；
求實數(shù)a的取值范圍，使命題p，q中有且只有一個為真命題．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年甘肅省蘭州一中高三（上）12月月考數(shù)學試卷（文科）（解析版） 題型：選擇題

已知y=Asin（ωx+ϕ）的最大值為1，在區(qū)間上，函數(shù)值從1減小到-1，函數(shù)圖象（如圖）與y軸的交點P坐標是（ ）

A．
B．
C．
D．以上都不是

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年福建省龍巖市高三（上）期末質量檢查一級達標數(shù)學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=px--2lnx、
（Ⅰ）若p=3，求曲f9想）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若p＞0且函f（x）在其定義域內為增函數(shù)，求實數(shù)p的取值范圍；
（Ⅲ）若函數(shù)y=f（x）在x∈（0，3）存在極值，求實數(shù)p的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案