Question

3．在平面直角坐標系xOy中，曲線C₁的方程為x²+y²=1，在以原點為極點，x軸的非負關軸為極軸的極坐標系中，直線l的極坐標方程為$ρ=\frac{8}{cosθ+2sinθ}$．
（1）將C₁上的所有點的橫坐標和縱坐標分別伸長到原來的2倍和$\sqrt{3}$倍后得到曲線C₂，求曲線C₂的參數方程；
（2）若P，Q分別為曲線C₂與直線l的兩個動點，求|PQ|的最小值以及此時點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）設曲線C₂上任取一點M（x，y），則點$M'（\frac{1}{2}x\;，\;\;\frac{1}{{\sqrt{3}}}y）$在曲線C₁上，代入整理得答案；
（2）化直線l的極坐標方程為直角坐標方程，設出P得坐標，由點到直線距離公式求出P到直線l的距離，利用三角函數求得最值．

解答 解：（1）在曲線C₂上任取一點M，設點M的坐標為M（x，y），則點$M'（\frac{1}{2}x\;，\;\;\frac{1}{{\sqrt{3}}}y）$在曲線C₁上，
滿足${（\frac{1}{2}x）^2}+{（\frac{1}{{\sqrt{3}}}y）^2}=1$，
∴曲線C₂的直角坐標方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，曲線C₂的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=\sqrt{3}sinθ\end{array}\right.$（θ為參數）；
（2）由$ρ=\frac{8}{cosθ+2sinθ}$，得ρcosθ+2ρsinθ-8=0．
∴直線l的直角坐標方程為l：x+2y-8=0，
設點$P（2cosθ\;，\;\;\sqrt{3}sinθ）$，點P到直線l的距離為$d=\frac{{|2cosθ+2\sqrt{3}sinθ-8|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{|4sin（θ+\frac{π}{6}）-8|}}{{\sqrt{5}}}$，
當$θ=\frac{π}{3}$，即點P的直角坐標為$（1\;，\;\;\frac{3}{2}）$時，d取得最小值$\frac{4}{5}\sqrt{5}$．

點評 本題考查簡單曲線的極坐標方程，考查了參數方程與普通方程的互化，考查點到直線距離公式的應用，是中檔題．