Question

設(shè)橢圓C₁的離心率為

5

13

，焦點(diǎn)在x軸上且長軸長為26．若曲線C₂上的點(diǎn)到橢圓C₁的兩個焦點(diǎn)的距離的差的絕對值等于8，求曲線C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析：由題意先求出橢圓C₁的a和c，由條件和雙曲線的定義判斷出，曲線C₂是以（-5，0）和（5，0）為焦點(diǎn)的雙曲線，并求出a和c，再由a、b、c的關(guān)系求出b的平方對應(yīng)的值，代入標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答：解：∵焦點(diǎn)在x軸上且長軸長為26，∴a=13，
∵橢圓C₁的離心率為e=

c

a

=

5

13

，∴c=5，
∵曲線C₂上的點(diǎn)到橢圓C₁的兩個焦點(diǎn)的距離的差的絕對值等于8，
∴曲線C₂是以（-5，0）和（5，0）為焦點(diǎn)的雙曲線，且a=4，c=5，
則b²=c²-a²=9，
∴曲線C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程是

x2

16

-

y2

9

=1．

點(diǎn)評：本題橢圓和雙曲線的定義，以及基本量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．