Question

（2006•海淀區(qū)一模）定義在R上的函數(shù)y=f（x）既是奇函數(shù)又是周期函數(shù)，若函數(shù)y=f（x）的最小正周期是2，且當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）=log

1

2

（1-x），則f（x）在區(qū)間（1，2）上是（　　）

A．增函數(shù)且f（x）＞0

B．增函數(shù)且f（x）＜0

C．減函數(shù)且f（x）＞0

D．減函數(shù)且f（x）＜0

Answer 1

分析：用變量代換的方法求得：x∈（-1，0）時，f（x）=log

1

2

1

1+x

．根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性與對數(shù)的運算性質(zhì)，得到
f（x）在區(qū)間（-1，0）上的單調(diào)性、值域，再根據(jù)f（x）的最小正周期是2，即可得到f（x）在區(qū)間（1，2）的情況．

解答：解：當(dāng)x∈（-1，0）時，可得f（-x）=log

1

2

[1-(-x)]=log

1

2

(1+x)，
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴當(dāng)x∈（-1，0）時，f（-x）=-f（x）=log

1

2

(1+x)，可得f（x）=log

1

2

(1+x)^-1=log

1

2

1

1+x

又∵f（x）的最小正周期是2，
∴f（x）在區(qū)間（1，2）的單調(diào)性、值域與f（x）在區(qū)間（-1，0）上的單調(diào)性、值域相同
∵t=

1

1+x

在區(qū)間（-1，0）上是減函數(shù)，得t=

1

1+x

＜1
∴結(jié)合0＜

1

2

＜1，可得log

1

2

1

1+x

＞0，且f（x）在區(qū)間（1，2）是增函數(shù)
故選：B

點評：本題給出含有周期的基本初等函數(shù)，在已知它在（0，1）上的表達(dá)式的情況下求它在區(qū)間（1，2）的單調(diào)性和值域．著重考查了函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合、函數(shù)的周期性等知識，屬于基礎(chǔ)題．