Question

（1）若對一切實數(shù)x，不等式|x-3|-|x+2|＞a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若不等式|x-3|-|x+2|＞a有解，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若方程|x-3|-|x+2|=a有解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令f（x）=|x-3|-|x+2|=

5，x＜-2 1-2x，-2≤x≤3 -5，x＞3

，易求f（x）∈[-5，5]，|x-3|-|x+2|＞a恒成立?a＜f（x）_min，從而可得實數(shù)a的取值范圍；
（2）不等式|x-3|-|x+2|＞a有解?a＜f（x）_max，而f（x）∈[-5，5]，于是可知實數(shù)a的取值范圍；
（3）利用函數(shù)f（x）=|x-3|-|x+2|的值域為[-5，5]，從而可得答案．

解答： 解：（1）令f（x）=|x-3|-|x+2|=

5，x＜-2 1-2x，-2≤x≤3 -5，x＞3

，

∴f（x）∈[-5，5]，
∴f（x）_min=-5；
∵|x-3|-|x+2|＞a恒成立，
∴a＜f（x）_min=-5，
即實數(shù)a的取值范圍為（-∞，-5）；
（2）由（1）知，f（x）∈[-5，5]，
∴不等式|x-3|-|x+2|＞a有解?a＜f（x）_max=5，
即實數(shù)a的取值范圍為（-∞，5）；
（3）∵函數(shù)f（x）=|x-3|-|x+2|的值域為[-5，5]，要使方程|x-3|-|x+2|=a有解，
即函數(shù)f（x）=|x-3|-|x+2|與直線y=a有公共點，
∴-5≤a≤5，
∴實數(shù)a的取值范圍為[-5，5]．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，考查等價轉(zhuǎn)化思想與綜合運算能力，考查作圖與識圖能力，屬于中檔題．