Question

四棱錐A-BCDE中，AD⊥底面BCDE，AC⊥BC，AE⊥BE；
（1）求證：A、B、C、D、E五點(diǎn)都在同一球面上．
（2）若∠CBE=90°，CE=

3

，AD=1，求B、D兩點(diǎn)間的球面距離．

Answer 1

分析：（1）取AB中點(diǎn)O，連接OD，OC，OE，直接根據(jù)AD⊥底面BCDE得到OD=

1

2

AB=OA=OB；同理得OC=OE=

1

2

AB=OA即可得到結(jié)論的證明；
（2）先根據(jù)底面BCDE為矩形得到BD=CE=

3

，再第一問的結(jié)論知道球的半徑為1，再結(jié)合余弦定理求出∠BOD即可求出B、D兩點(diǎn)間的球面距離．

解答：解：（1）作AB中點(diǎn)O，連接OD，OC，OE
AD⊥底面BCDE，在直角三角形ABD中，OD=

1

2

AB=OA=OB
AC⊥BC，在直角三角形ABC中，OC=

1

2

AB=OA
AE⊥BE，在直角三角形ABE中，OE=

1

2

AB=OA
即OA=OB=OC=OD=OE，
則A，B，C，D，E都在AB為直徑的球上．
（2）因?yàn)椋旱酌鍮CDE為矩形
所以BD=CE=

3

又因?yàn)锳B=2
球心0在AB的中點(diǎn)上
所以球的半徑為1
在三角形BOD中
OD=OB=1  BD=

3

由余弦定理可得cos∠BOD=

OD 2+OB 2-BD 2

2OB•OD

=-

1

2

．
∴∠BOD=120°．
所以B，D兩點(diǎn)間的球面距為

1

3

圓周即

2π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察點(diǎn)、線、面間的距離．本題涉及到了余弦定理的應(yīng)用，以及球內(nèi)接多面體，解決問題的關(guān)鍵在于第一問的證明．