Question

15．已知函數(shù)f（x）=ax-lnx．
（1）過原點O作函數(shù)f（x）圖象的切線，求切點的橫坐標；
（2）對?x∈[1，+∞），不等式f（x）≥a（2x-x²）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過設(shè)切點坐標，進而可寫出切線方程，代入原點計算即得結(jié)論；
（2）通過轉(zhuǎn)化可知a（x²-x）≥lnx對?x∈[1，+∞）恒成立，分別設(shè)y₁=a（x²-x），y₂=lnx，利用x∈[1，+∞）可知a＞0．再記g（x）=ax²-ax-lnx，通過舉反例可知當0＜a＜1時不滿足題意．進而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，利用當x＞1時lnx＜x-1恒成立放縮即得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)切點為M（x₀，f（x₀）），直線的切線方程為y-f（x₀）=k（x-x₀），
∵f′（x）=a-$\frac{1}{x}$，∴k=f′（x₀）=a-$\frac{1}{{x}_{0}}$，
即直線的切線方程為y-ax₀+lnx₀=（a-$\frac{1}{{x}_{0}}$）（x-x₀），
又切線過原點O，所以-ax₀+lnx₀=-ax₀+1，
由lnx₀=1，解得x₀=e，所以切點的橫坐標為e．
（2）∵不等式ax-lnx≥a（2x-x²）恒成立，
∴等價于a（x²-x）≥lnx對?x∈[1，+∞）恒成立．
設(shè)y₁=a（x²-x），y₂=lnx，由于x∈[1，+∞），且當a≤0時y₁≤y₂，故a＞0．
記g（x）=ax²-ax-lnx，
則當0＜a＜1時，g（3）=6a-ln3≥0不恒成立，同理x取其他值不恒成立．
當x=1時，g（x）≥0恒成立；
當x＞1時，則a≥$\frac{lnx}{{x}^{2}-x}$恒成立，等價于問題轉(zhuǎn)化為求h（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}-x}$當x＞1時的最大值．
又當x＞1時，lnx＜x-1＜x（x-1），即h（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}-x}$＜1（x＞1），
綜上所述：a≥1．

點評 本題是一道關(guān)于導數(shù)的綜合題，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，注意解題方法的積累，屬于難題．