Question

如圖所示，已知P為⊙O外一點(diǎn)，A在⊙O上，PBC為割線，弦CD∥AP，AD、BC相交于E點(diǎn)，F(xiàn)為CE上一點(diǎn)，且∠EDF=∠ECD．
（Ⅰ）求證：EF•EP=DE•EA；
（Ⅱ）若EB=DE=6，EF=4，求EP的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段

專題：立體幾何

分析：（1）證明△DEF∽△PEA，即可得到比例式，從而可得結(jié)論；
（2）利用△DEF∽△CED，求EC的長(zhǎng)，利用相交弦定理，求EP的長(zhǎng)，再利用切割線定理，即可求PA的長(zhǎng)．

解答： 證明：（1）∵CD∥AP，∴∠ECD=∠APE．
∵∠EDF=∠ECD，∴∠APE=∠EDF…（3分）
又∵∠DEF=∠PEA，∴△DEF∽△PEA
∴DE：PE=EF：EA．即EF•EP=DE•EA．…（5分）
解：（2）∵∠EDF=∠ECD，∠CED=∠FED，
∴△DEF∽△CED，∴DE：EC=EF：DE，
∴DE²=EF•EC，
∵DE=6，EF=4，∴EC=9．…（6分）
∵弦AD、BC相交于點(diǎn)E，
∴DE•EA=CE•EB
∴CE•EB=EF•EP．…（7分）
∴9×6=4×EP．解得：EP=

27

2

．…（8分）
∴PB=PE-BE=

15

2

，PC=PE+EC=

45

2

．
由切割線定理得：PA²=PB•PC，…（9分）
∴PA²=

15

2

×

45

2

，
∴PA=

15

2

3

…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查與圓有關(guān)的比例線段，考查三角形的相似，考查相交弦定理，切割線定理的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．