Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線(xiàn)，交BC于點(diǎn)E．
（1）求證：點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)；
（2）若EC=3，BD=2

6

，求⊙O的直徑AC的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：（1）利用EC為⊙O的切線(xiàn)，ED也為⊙O的切線(xiàn)可求EC=ED，再求得EB=EC，EB=ED可知點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)；
（2）解答此題需要運(yùn)用圓切線(xiàn)和割線(xiàn)的性質(zhì)和勾股定理求解．

解答：證明：（1）連接DO；
∵∠ACB=90°，AC為直徑，
∴EC為⊙O的切線(xiàn)；
又∵ED也為⊙O的切線(xiàn)，
∴EC=ED，
又∵∠EDO=90°，
∴∠BDE+∠ADO=90°，
∴∠BDE+∠A=90°°
又∵∠B+∠A=90°，
∴∠BDE=∠B，
∴EB=ED，
∴EB=EC，即點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)；

（2）∵BC，BA分別是⊙O的切線(xiàn)和割線(xiàn)，
∴BC²=BD•BA，
∴（2EC）²=BD•BA，即BA•2

6

=36，
∴BA=3

6

，
在Rt△ABC中，由勾股定理得
AC=

AB2-BC2

=

(3 6 )2-62

=3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線(xiàn)性質(zhì)，及解直角三角形的知識(shí)．運(yùn)用切線(xiàn)的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線(xiàn)連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．