Question

6．如圖1，邊長為4的正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點，將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點重合于點P如圖2．
（Ⅰ）求證：DP⊥EF；
（Ⅱ）求四棱錐P-BFDE的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出PD⊥PE，PD⊥PF，從而PD⊥平面PEF，由此能證明PD⊥EF．
（Ⅱ）推導出PE=PF=BE=BF=2，EF=$\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$，BD=$\sqrt{16+16}=4\sqrt{2}$，從而S_{四邊形BFDE}=$\frac{1}{2}×BD×EF$=8，P到平面BFDE的距離d=$\sqrt{P{F}^{2}-（\frac{EF}{2}）^{2}}$=$\sqrt{2}$，由此能求出四棱錐P-BFDE的體積．

解答 證明：（Ⅰ）∵邊長為4的正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點，
將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點重合于點P，
∴PD⊥PE，PD⊥PF，
∵PE∩PF=P，∴PD⊥平面PEF，
∵EF?平面PEF，∴PD⊥EF．
解：（Ⅱ）∵邊長為4的正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點，
將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點重合于點P，
∴PE=PF=BE=BF=2，EF=$\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$，BD=$\sqrt{16+16}=4\sqrt{2}$，
∴S_{四邊形BFDE}=$\frac{1}{2}×BD×EF$=$\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×2\sqrt{2}$=8，
P到平面BFDE的距離d=$\sqrt{P{F}^{2}-（\frac{EF}{2}）^{2}}$=$\sqrt{4-2}$=$\sqrt{2}$，
∴四棱錐P-BFDE的體積：
$V=\frac{1}{3}×{S}_{四邊形BFDE}×d$=$\frac{1}{3}×8×\sqrt{2}$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題線線垂直的證明，考查幾何體的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、數(shù)形結合思想，是中檔題．