精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

已知雙曲線的一條漸近線方程是 $數(shù)學(xué)公式$ ，焦距為 $數(shù)學(xué)公式$ ，則此雙曲線的標準方程為________．

$\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
分析：若雙曲線焦點在x軸上，設(shè)它的標準方程為 $\text{[math]}$ （a＞0，b＞0）．根據(jù)漸近線方程是 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ，再根據(jù)焦距為 $\text{[math]}$ ，得到c= $\text{[math]}$ ，聯(lián)解可得a²和b²的值，從而得到焦點在x軸上雙曲線的標準方程．然后用類似的方法，可得焦點在y軸上雙曲線的標準方程，最后得到滿足題意的雙曲線的標準方程．
解答：（1）當雙曲線焦點在x軸上時，
設(shè)它的標準方程為 $\text{[math]}$ （a＞0，b＞0）
∵雙曲線的一條漸近線方程是 $\text{[math]}$ ，
∴漸近線方程 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ …①
又∵雙曲線的焦距為 $\text{[math]}$
∴c= $\text{[math]}$ …②
聯(lián)解①②，得a²=4，b²=3
∴雙曲線方程為 $\text{[math]}$
（2）當雙曲線焦點在y軸上時，
設(shè)它的標準方程為 $\text{[math]}$ （a＞0，b＞0）
采用類似（1）的方法，可得a²=3，b²=4
∴雙曲線方程為 $\text{[math]}$
綜上所述，所求雙曲線方程為： $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
故答案為： $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
點評：本題用待定系數(shù)法求雙曲線的標準方程，著重考查了雙曲線的漸近線和焦點等基本概念和雙曲線的簡單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

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