Question

某化工企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品．根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，甲產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖（1）所示；乙產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖（2）所示．
（Ⅰ）分別將甲、乙兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）設(shè)該企業(yè)準備投資100萬元資金，并全部投入甲、乙兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)．怎樣分配這100萬元資金，才能使企業(yè)獲得最大利潤，其最大利潤為多少萬元？（精確到1萬元）

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)投資為x萬元，甲產(chǎn)品的利潤為f（x）萬元，
乙產(chǎn)品的利潤為g（x）萬元
由題設(shè)f（x）=mx，g（x）=n（mn≠0）（2分）
由圖（1）可知，
由圖（2）可知，∴（4分）
∴（6分）
（Ⅱ）設(shè)甲產(chǎn)品投入x萬元，則乙產(chǎn)品投入為100-x萬元，設(shè)企業(yè)利潤為y萬元
則（0≤x≤100）（8分）
設(shè)，則0≤t≤10
（0≤t≤10）
∴時，，此時x=79.75（10分）
∴當甲產(chǎn)品投入79.75萬元，則乙產(chǎn)品投入為20.25萬元時，企業(yè)獲得的最大利潤為30萬元．（12分）
分析：（Ⅰ）先設(shè)投資為x萬元，寫出甲產(chǎn)品的利潤、乙產(chǎn)品的利潤，根據(jù)圖形可得甲、乙兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；（Ⅱ）設(shè)甲產(chǎn)品投入x萬元，則乙產(chǎn)品投入為100-x萬元，得出企業(yè)利潤的函數(shù)表達式，再利用換元法將原函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最大值問題解決即可得當甲產(chǎn)品投入多少萬元，企業(yè)獲得最大利潤．
點評：解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數(shù)學(xué)符號，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．構(gòu)造二次函數(shù)模型，函數(shù)解析式求解是關(guān)鍵，然后利用配方法、數(shù)形結(jié)合法等方法求解二次函數(shù)最值．