Question

崇義縣環(huán)保局決定對(duì)陽(yáng)明湖的四個(gè)區(qū)域A、B、C、D的水質(zhì)進(jìn)行檢測(cè)，水質(zhì)分為I、II、III類(lèi)，每個(gè)區(qū)域的檢測(cè)方式如下：分別在同一天的上、下午各進(jìn)行一次檢測(cè)，若兩次檢測(cè)中有III類(lèi)或兩次都是II類(lèi)，則該區(qū)域的水質(zhì)不合格，設(shè)各區(qū)域的水質(zhì)相互獨(dú)立，且每次檢測(cè)的結(jié)果也相互獨(dú)立，根據(jù)多次抽檢結(jié)果，一個(gè)區(qū)域一次檢測(cè)水質(zhì)為I、II、III三類(lèi)的頻率依次為

2

3

，

1

6

，

1

6

（I）在陽(yáng)明湖的四個(gè)區(qū)域中任取一個(gè)區(qū)域，估計(jì)該區(qū)域水質(zhì)合格的概率；
（II）如果對(duì)陽(yáng)明湖的四個(gè)區(qū)域進(jìn)行檢測(cè)，記在上午檢測(cè)水質(zhì)為I類(lèi)的區(qū)域數(shù)為ξ，并以水質(zhì)為I 類(lèi)的頻率作為水質(zhì)為I類(lèi)的概率，求ξ的分布列及期望值．

Answer 1

分析：（I）水質(zhì)合格包括兩種情況，即兩次檢測(cè)中水質(zhì)均為I類(lèi)，區(qū)域兩次檢測(cè)中，水質(zhì)一次為I類(lèi)，另一次為II類(lèi)，這兩種情況是互斥的，得到概率．
（II）由題意知變量的可能取值是0，1，2，3，4，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件，寫(xiě)出變量的概率值，列出分布列求出期望值．

解答：解：（I）該區(qū)域兩次檢測(cè)中水質(zhì)均為I類(lèi)的概率為

2

3

×

2

3

=

4

9

該區(qū)域兩次檢測(cè)中，水質(zhì)一次為I類(lèi)，另一次為II類(lèi)的概率為2×

2

3

×

1

6

=

2

9

該區(qū)域的水質(zhì)合格的概率為P=

4

9

+

2

9

=

2

3

（II）由題意可知，ξ的取值為0，1，2，3，4
P（ξ=i）=

C

i n

(

2

3

)i(

1

3

)4-i（i=0，1，2，3，4
隨機(jī)變量ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3	4
P	1 81	8 81	24 81	32 81	16 81

∴Eξ=1×

8

81

+2×

24

81

+3×

32

81

+4×

16

81

=

206

81

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，本題解題的關(guān)鍵是看出題目中的變量符合特殊結(jié)構(gòu)，這樣使得運(yùn)算量減小．