Question

已知A、B為拋物線E上不同的兩點，若拋物線E的焦點為（1，0），線段AB恰被M（2，1）所平分．　
（Ⅰ）求拋物線E的方程；
（Ⅱ）求直線AB的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）令拋物線E的方程：y²=2px（p＞0）
∵拋物線E的焦點為（1，0），∴p=2
∴拋物線E的方程：y²=4x
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
兩式相減，得（y₂-y₁）/（y₁+y₂）=4（x₂-x₁）
∵線段AB恰被M（2，1）所平分
∴y₁+y₂=2
∴=2
∴AB的方程為y-1=2（x-2），即2x-y-3=0．
分析：（Ⅰ）令拋物線E的方程，根據(jù)拋物線E的焦點為（1，0），即可求得結(jié)論；
（Ⅱ）利用點差法，結(jié)合線段AB恰被M（2，1）所平分，求出AB的斜率，即可求得直線AB的方程．
點評：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查點差法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．