Question

如圖，矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一個(gè)點(diǎn)Q滿足PQ⊥DQ，則a的值等于

 

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Answer 1

分析：利用三垂線定理的逆定理、直線與圓相切的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)即可求出．

解答：解：連接AQ，取AD的中點(diǎn)O，連接OQ．
∵PA⊥平面ABCD，PQ⊥DQ，
∴由三垂線定理的逆定理可得DQ⊥AQ．
∴點(diǎn)Q在以線段AD的中點(diǎn)O為圓心的圓上，
又∵在BC上有且僅有一個(gè)點(diǎn)Q滿足PQ⊥DQ，∴BC與圓O相切，（否則相交就有兩點(diǎn)滿足垂直，矛盾．）
∴OQ⊥BC，
∵AD∥BC，∴OQ=AB=1，∴BC=AD=2，
即a=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：本題體現(xiàn)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，轉(zhuǎn)化為BC與以線段AD的中點(diǎn)O為圓心的圓相切是關(guān)鍵，屬于中檔題．