Question

【題目】若函數(shù)f(x)滿足：對(duì)于s，t∈[0，+∞），都有f(s)≥0，f(t)≥0，且f(s)+f(t)≤f(s+t)，則稱函數(shù)f (x)為“T函數(shù)”．

(I)試判斷函數(shù)f1(x)=x2與f2(x)=lg(x+1)是否是“T函數(shù)”，并說(shuō)明理由；

(Ⅱ)設(shè)f (x)為“T函數(shù)”，且存在x0∈[0，+∞)，使f(f(x0))=x0.求證：f (x0) =x0；

(Ⅲ)試寫出一個(gè)“T函數(shù)”f(x)，滿足f(1)=1，且使集合{y|y=f(x)，0≤x≤1)中元素的個(gè)數(shù)最少．（只需寫出結(jié)論）

Answer 1

【答案】（I）見(jiàn)解析;(II) 見(jiàn)解析;（III）（注：答案不唯一）

【解析】試題分析：（Ⅰ）直接利用定義判斷函數(shù) 與是否是“T函數(shù)” 即可；

（Ⅱ）設(shè) 所以，對(duì)于 一定有 即可證明;

（Ⅲ）根據(jù) 且使集合 中元素的個(gè)數(shù)最少，以及新定義即可確定．

試題解析：（I）對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，都有， ，

又，所以.

所以是“T函數(shù)”.

對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)， ， ，

因?yàn)?/span>，所以.

所以不是“T函數(shù)”.

(II)設(shè)， ， .

則

所以，對(duì)于， ，一定有.

因?yàn)?/span>是“T函數(shù)”， ，所以.

若，則，不符合題意.

若，則，不符合題意.

所以.

（III）（注：答案不唯一）