Question

（2013•濟(jì)南一模）某學(xué)生參加某高校的自主招生考試，須依次參加A、B、C、D、E五項(xiàng)考試，如果前四項(xiàng)中有兩項(xiàng)不合格或第五項(xiàng)不合格，則該考生就被淘汰，考試即結(jié)束；考生未被淘汰時(shí)，一定繼續(xù)參加后面的考試．已知每一項(xiàng)測(cè)試都是相互獨(dú)立的，該生參加A、B、C、D四項(xiàng)考試不合格的概率均為

1

2

，參加第五項(xiàng)不合格的概率為

2

3

，
（1）求該生被錄取的概率；
（2）記該生參加考試的項(xiàng)數(shù)為X，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析：（1）該生被錄取，則必須答對(duì)前四項(xiàng)中的三項(xiàng)和第五項(xiàng)或者答對(duì)所有的項(xiàng)．
（2）分析此問(wèn)題時(shí)要注意有順序，所以X的所有取值為：2，3，4，5．分別計(jì)算其概率得出分布列，以及它的期望值．

解答：解：（1）該生被錄取，則A、B、C、D四項(xiàng)考試答對(duì)3道或4道，并且答對(duì)第五項(xiàng)．
所以該生被錄取的概率為P=

1

3

[（

1

2

）⁴+

1

3

C

3 4

（

1

2

）³•

1

2

]=

5

48

，
（2）該生參加考試的項(xiàng)數(shù)X的所有取值為：2，3，4，5．
P（X=2）=

1

2

×

1

2

=

1

4

；P（X=3）=C

1 2

•

1

2

•

1

2

•

1

2

=

1

4

；P（X=4）=C

1 3

•

1

2

•（

1

2

）²•

1

2

=

3

16

；
P（X=5）=1-

1

4

-

1

4

-

3

16

=

5

16

．
該生參加考試的項(xiàng)數(shù)ξ的分布列為：

X	2	3	4	5
P	1 4	1 4	3 16	5 16

EX=2×

1

4

+3×

1

4

+4×

3

16

+5×

5

16

=

57

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了離散型隨機(jī)變量及其分布列，數(shù)學(xué)期望．此題把二項(xiàng)分布和回合制問(wèn)題有機(jī)的結(jié)合在一起，增加了試題的難度．解決此問(wèn)題應(yīng)注意順序．