設(shè)a>1,定義f(n)=
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
,如果對任意的n∈N*且n≥2,不等式12f(n)+7logab>7loga+1b+7(a>0且a≠1)恒成立,則實數(shù)b的取值范圍是( 。
A、(2,
29
17
)
B、(0,1)
C、(0,4)
D、(1,+∞)
分析:由不等式12f(n)+7logab>7loga+1b+7恒成立這條件轉(zhuǎn)化化為“f(n)>t”這個形式,要求t,先求f(n)的最小值,最后就是利用a與b的關(guān)系求出b的范圍.
解答:解:由f(n)=
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
知,f(n+1)=
1
n+2
+
1
n+3
…+
1
2n+2
,
f(n+1)-f(n)=
1
2n+2
+
1
2n+1
-
1
n+1
=
1
(2n+1)(2n+2)
>0
,∴f(n)是遞增數(shù)列.
∴當(dāng)n≥2時,f(n)的最小值是f(2)=
7
12
,
要使對任意的n∈N*且n≥2,不等式12f(n)+7logab>7loga+1b+7恒成立,
則滿足12•
7
12
+7logab>7loga+1b+7,
即logab>loga+1b,
lgb
lga
lgb
lg(a+1)

lgb•
lg(a+1)-lga
lga•lg(a+1)
>0

∵a>1,∴l(xiāng)gb>0,即b>1.
故選D.
點評:此題考查數(shù)列的增減性,及不等式恒成立問題的常規(guī)解法,一般都是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值來解決.
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設(shè)M是△ABC內(nèi)一點,且△ABC的面積為1,定義f(M)=(m,n,p),其中m、n、p分別是△MBC,△MCA,△MAB的面積,若f(M)=(
1
2
,x,y),則
1
x
+
4
y
的最小值是( 。
A、8B、9C、16D、18

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1
x2+a

(Ⅰ)證明:存在唯一實數(shù)x0∈(0,
1
a
)
,使f(x0)=x0;
(Ⅱ)定義數(shù)列{xn}:x1=0,xn+1=f(xn),n∈N*
(i)求證:對任意正整數(shù)n都有x2n-1<x0<x2n;
(ii) 當(dāng)a=2時,若0<xk
1
2
(k=2,3,4,…)
,證明:對任意m∈N*都有:|xm+k-xk|<
1
3•4k-1

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A.8
B.9
C.16
D.18

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A.8
B.9
C.16
D.18

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