如圖,斜率為1的直線過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),與拋物線交于兩點(diǎn)A、B,將直線AB按向量
a
=(-p,0)
平移得到直線l,N為l上的動(dòng)點(diǎn),M為拋物線弧AB上的動(dòng)點(diǎn).
(Ⅰ) 若|AB|=8,求拋物線方程.
(Ⅱ)求S△ABM的最大值.
(Ⅲ)求
NA
NB
的最小值.
分析:(Ⅰ)利用韋達(dá)定理及拋物線的定義,計(jì)算弦長(zhǎng),即可求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知|AB|=4p,故求S△ABM的最大值,即求M到AB距離的最大值;
(Ⅲ)利用向量的數(shù)量積公式,結(jié)合配方法,即可求
NA
NB
的最小值.
解答:解:(Ⅰ)由條件知lAB:y=x-
p
2
,則
y=x-
p
2
y2=2px
,消去x得:x2-3px+
1
4
p2=0
①,則x1+x2=3p,
由拋物線定義|AB|=x1+x2+p=4p,
又因?yàn)閨AB|=8,即p=2,則拋物線方程為y2=4x.---------------------------(3分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知|AB|=4p和lAB:y=x-
p
2
,設(shè)M(
y
2
0
2p
,y0)
,
則M到AB距離:d=
|-
1
2p
y
2
0
+y0+
p
2
|
2
,因M,O在直線AB的同側(cè),所以-
1
2p
y
2
0
+y0+
p
2
>0
,
d=
2
2
(-
1
2p
y
2
0
+y0+
p
2
)
,即d=
2
2
[-
1
2p
(y0-p)2+p]
,
由①知A(
3-2
2
2
p,(1-
2
)p),B(
3+2
2
2
p,(1+
2
)p)

所以(1-
2
)p<y0<(1+
2
)p
,則當(dāng)y0=p時(shí),dmax=
2
2
p

(S△ABM)max=
1
2
•4p•
2
2
p=
2
p2
.---------------------------------------(8分)
(Ⅲ)設(shè)N(x0,x0+
p
2
)
,A(x1,y1),B(x2,y2),
NA
=(x1-x0,y1-x0-
p
2
)
NB
=(x2-x0,y2-x0-
p
2
)

NA
NB
=x1x2-x0(x1+x2)+
x
2
0
+y1y2-(x0+
p
2
)(y1+y2)+(x0+
p
2
)2

由①知x1+x2=3p,x1x2=
1
4
p2
,y1y2=-p2,y1+y2=2p,則
NA
NB
=2
x
2
0
-4px0-
3
2
p2
,
NA
NB
=2(x0-p)2-
7
2
p2
,當(dāng)x0=p時(shí),
NA
NB
的最小值為-
7
2
p2

(其它方法酌情給分)---------------------------------------------------(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查拋物線的弦長(zhǎng)計(jì)算,考查三角形面積,考查向量知識(shí),解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用拋物線的定義,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,斜率為1的直線過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),與拋物線交于兩點(diǎn)A、B,M為拋物線弧AB上的動(dòng)點(diǎn).
(1)若|AB|=8,求拋物線的方程;
(2)求S△ABM的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,斜率為1的直線過拋物線Ω:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F,與拋物線交于兩點(diǎn)A,B,
(1)若|AB|=8,求拋物線Ω的方程;
(2)設(shè)C為拋物線弧AB上的動(dòng)點(diǎn)(不包括A,B兩點(diǎn)),求△ABC的面積S的最大值;
(3)設(shè)P是拋物線Ω上異于A,B的任意一點(diǎn),直線PA,PB分別交拋物線的準(zhǔn)線于M,N兩點(diǎn),證明M,N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值(僅與p有關(guān))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,斜率為1的直線過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),與拋物線交于兩點(diǎn)A、B,將直線AB按向量
a
=(-p,0)
平移到直線l,N為l上的動(dòng)點(diǎn).
(1)若|AB|=8,求拋物線的方程;
(2)求
NA
NB
的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:山東省棗莊市2010屆高三年級(jí)調(diào)研考試數(shù)學(xué)(文科)試題 題型:解答題

(本題滿分12分)

如圖,斜率為1的直線過拋物線的焦點(diǎn)F,與拋物線交于兩點(diǎn)A,B

   (1)若|AB|=8,求拋物線的方程;

   (2)設(shè)C為拋物線弧AB上的動(dòng)點(diǎn)(不包括A,B兩點(diǎn)),求的面積S的最大值;

   (3)設(shè)P是拋物線上異于A,B的任意一點(diǎn),直線PA,PB分別交拋物線的準(zhǔn)線于MN兩點(diǎn),證明M,N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值(僅與p有關(guān))

 

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