已知函數(shù)f(x)=|sinx|的圖象與直線y=kx(k>0)有且僅有三個(gè)交點(diǎn),交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最大值為α,求證:
cosα
sinα+sin3α
=
1+α2
分析:作出函數(shù)f(x)=|sinx|的圖象,利用函數(shù)f(x)=|sinx|的圖象與直線y=kx(k>0)有且僅有三個(gè)交點(diǎn),確定切點(diǎn)坐標(biāo),然后利用三角函數(shù)的關(guān)系式證明等式.
解答:解:作出函數(shù)f(x)=|sinx|的圖象與直線y=kx(k>0)的圖象,如圖所示,要使兩個(gè)函數(shù)有且僅有三個(gè)交點(diǎn),
則由圖象可知,直線在(π,
2
)內(nèi)與f(x)相切.設(shè)切點(diǎn)為A(α,-sinα),
當(dāng)x∈(π,
2
)時(shí),f(x)=|sinx|=-sinx,
此時(shí)f'(x)=-cosx,x∈(π,
2
).
所以-cosα=-
sinα
α
,即α=tanα,
所以
cosα
sinα+sin3α
=
cosα
2sin2αcosα
=
cosα
4sinαcosα

=
cos2α+sin2α
4sinαcosα
=
1+tan2α
4tanα
=
1+α2

所以等式成立.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了兩函數(shù)的交點(diǎn)的應(yīng)用,以及三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用,綜合性較強(qiáng),難度較大.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中x∈R,0<φ<π).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)
的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對(duì)稱,求φ的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,
(1)求x<0,時(shí)f(x)的表達(dá)式;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)-a=o有解,求實(shí)數(shù)a的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=aInx-ax,(a∈R)
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(文科可參考公式:(Inx)=
1
x

(2)若f′(2)=1,記函數(shù)g(x)=x3+x2[f(x)+
m
2
]
,若g(x)在區(qū)間(1,3)上總不單調(diào),求實(shí)數(shù)m的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線l與直線3x-y+2=0平行,若數(shù)列{
1
f(n)
}
的前n項(xiàng)和為Sn,則S2010的值為( 。
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù),且對(duì)于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 

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