Question

如圖：直平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁，底面ABCD是邊長為2a的菱形，∠BAD=60°，E為AB中點，二面角A₁-ED-A為60°．
（I）求證：平面A₁ED⊥平面ABB₁A₁；
（II）求二面角A₁-ED-C₁的余弦值；
（III）求點C₁到平面A₁ED的距離．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意及△ABD為正三角形，和平面ABB₁A₁⊥平面ABCD且交于AB，利用面面垂直的判定定理即可得證；
（II）由（I）的過程及直平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中AA₁⊥面ABCD．利用三垂線定理的逆定理及條件得到二面角的平面角，然后在三角形中求解即可；
（III）由題意及平面A₁ED⊥面ABB₁A₁的性質(zhì)定理得到FG是點F到平面A₁ED的距離，然后在三角形中解出即可．
解答：解：（I）證明：連接BD，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，
∴△ABD為正三角形，
∵E為AB的中點，
∴ED⊥AB，
在直六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中：
平面ABB₁A₁⊥平面ABCD且交于AB，
∵ED?面ABCD∴ED⊥面ABB₁A₁，
∴平面A₁ED⊥平面ABB₁A₁．
（II）解：由（I）知：ED⊥面ABB₁A₁
∵A₁E?面ABB₁A₁
∴A₁E⊥ED
又在直平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中：AA₁⊥面ABCD，
由三垂線定理的逆定理知：AE⊥ED，
∴∠A₁EA=60°，
取BB₁的中點F，連EF．AB₁，則EF，在直平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中：AB₁DC₁
∴EF
∴E．F．C₁、D四點共面，
∵ED⊥面ABB₁A₁且EF?面ABB₁A₁
∴EF⊥ED
∴∠A₁EF為二面角A₁-ED-C₁的平面角，
在Rt△A₁AE中：，
在Rt△EBF中：，
在Rt△A₁B₁F中：
∴在Rt△A₁EF中：，
∴二面角A₁-ED-C₁的余弦值為，
（III）過F作FG⊥A₁E交A₁E于G點
∵平面A₁ED⊥面ABB₁A₁
且平面A₁ED∩面ABB₁A₁=A₁E
∴FG⊥平面A₁ED，
即：FG是點F到平面A₁ED的距離，
在Rt△EGF中：
∴
∴，
∵EF且E．D∈面A₁ED
∴點C₁到平面A₁ED的距離為．
點評：此題重點考查了面面垂直的性質(zhì)定理及面面垂直的判定定理，線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理，還考查了利用三垂線定理或其逆定理求找二面角平面角的方法，同時考查了學生的空間想象能力及利用三角形求角的大小的計算能力．