Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²，有b_n=2^a_n，
（1）求證數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）由數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入b_n=2^a_n后由等比數(shù)列的定義證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，
此式當(dāng)n=1時(shí)成立，故a_n=2n-1（n∈N^*）．
∴

bn+1

bn

=

2an+1

2an

=

22n+1

22n-1

=4．故數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）∵anbn=(2n-1)•22n-1．
Tn=1•2+3•23+5•25+…+(2n-3)•22n-3+(2n-1)•22n-1①
4Tn=1•23+3•25+5•27+…(2n-3)•22n-1+(2n-1)•22n+1②
②-①得：3Tn=-2-2(23+25+27+…+22n-1)+(2n-1)•22n+1
=-2-2

23(1-4n-1)

1-4

+(2n-1)•22n+1．
∴Tn=

6n-5

9

•22n+1+

10

9

．

點(diǎn)評：本題考查了等比關(guān)系的確定，考查了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的錢n項(xiàng)和，是中檔題．